Cantor-Käse-Konstruktionen
Die Cantor-Menge ist eine überabzählbar mächtige, total unzusammenhängende und nirgends dichte, aber dennoch kompakte Punktmenge, die laut Ian Stewart1 1875 von Henry Smith entdeckt und von Georg Cantor 1883 veröffentlicht wurde. Sie gilt als das älteste Fraktal überhaupt.
Da die Cantor-Menge schwer zu visualisieren ist, wird sie häufig durch eine Figur dargestellt, die aus Kreisen konstruiert wird und zur Cantor-Menge topologisch äquivalent ist. Clifford A. Pickover beschreibt sie so2: Aus einem Kreis wird bis auf zwei kleinere Kreise alles entfernt. Aus diesen zwei kleineren Kreisen wird wiederum bis auf zwei kleinere Kreise alles entfernt. Nun hat man schon vier Kreise, aus denen man jeweils bis auf zwei kleinere Kreise alles entfernt. Und so weiter und so fort …
Entlang des waagrechten Durchmessers (der Horizontalen) ist die fraktale Dimension für die Punktmenge nahezu \(1\). Kleinere Fraktale mit einer geringeren Dimension entstehen durch die Verwendung geschrumpfter und getrennter Kreise.
Das schreit natürlich nach einer rekursiven Funktion und die ist in Python/TigerJython recht schnell erstellt:
import gpanel as gp
WIDTH = 640
HEIGHT = 480
gp.makeGPanel(gp.Size(WIDTH, HEIGHT))
gp.window(0, WIDTH, HEIGHT, 0)
gp.title("Cantor-Käse")
gp.bgColor(gp.makeColor(234, 218, 184))
def cheese(x, y, r, level):
gp.move(x, y)
gp.setColor(gp.makeColor(255, 255, 255))
gp.fillCircle(r)
gp.setColor(gp.makeColor(0, 0, 0))
gp.circle(r)
if (level > 1):
cheese(x - r/2, y, r/2, level - 1)
cheese(x + r/2, y, r/2, level - 1)
cheese(WIDTH/2, HEIGHT/2, HEIGHT/2, 10)
print("I did it, Babe!")Wandelt man das Skript ein wenig ab, indem man auf der x-Achse jeweils den Durchmesser (\(r\)) anstelle der Radii (\(\frac{r}{2}\)) addiert, respektive subtrahiert,
erhält man das Gebilde im Bannerbild oben. Das ist zwar strenggenommen kein Cantor-Käse mehr, sieht aber – wie ich finde – auch recht hübsch aus.
Schon bei früheren Experimenten hatte ich mich gefragt, was für eine Figur entstände, wenn man den Käse sich nicht nur in der Horizontalen, sondern auch in der Vertikalen ausbreiten ließe?
import gpanel as gp
WIDTH = 640
HEIGHT = 480
maxLevel = 6
gp.makeGPanel(gp.Size(WIDTH, HEIGHT))
gp.window(0, WIDTH, HEIGHT, 0)
gp.title("Cantors-Doppelkäse")
gp.bgColor(gp.makeColor(234, 218, 184))
def cheese(x, y, r, level):
gp.move(x, y)
# gp.setColor(gp.makeColor(255, 255, 255))
# gp.fillCircle(r)
gp.setColor(gp.makeColor(0, 0, 0))
gp.circle(r)
if (level > 1):
cheese(x - r/2, y, r/2, level - 1)
cheese(x, y - r/2, r/2, level - 1)
cheese(x + r/2, y, r/2, level - 1)
cheese(x, y + r/2, r/2, level - 1)
cheese(WIDTH/2, HEIGHT/2, HEIGHT/2, maxLevel)
print("I did it, Babe!")Auch dieses Ergebnis sieht recht nett aus, allerdings sollte man hier die Rekursionstiefe kleiner wählen, sonst verschwindent alles hinter einem wüsten Moiré-Muster.
Weiterführende Literatur
- Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Basel, Boston, Berlin (Birkhäuser) 1991. Die Cantor-Menge wird im Kapitel 8 (Seiten 86-95) beschrieben.
- Jörg Kantel: Cantors Doppelkäse mit Shoes, Der Schockwellenreiter vom 16. September 2016.
- Clifford A. Pickover: Mit den Augen des Computers. Phantastische Welten aus dem Geist der Maschine, München (Markt und Technik) 1992. Dem Cantor-Käse ist auf den Seiten 171-181 ein eigenes Kapitel gewidmet.
- Chris Robart (Ed.): Programming Ideas: For Teaching High School Computer Programming, (PDF 260 KB, 2nd Edition) 2001. Eine Fundgrube voller Ideen, deren Download sich in jedem Fall lohnt.
- Ian Stewart: Spielt Gott Roulette? Uhrwerk oder Chaos, Frankfurt/Main, Leipzig (Insel Taschenbuch) 1993, Seiten 130-134.
Den Quellcode gibt es auch wieder in meinem GitLab-Repositorium zu TigerJython. Hier der Cantor-Käse, hier das abgewandelte Beispielprogramm mit dem Bannerbild oben und hier den doppelten Cantor-Käse. Habt wieder Spaß damit!