Der Pythagoras-Baum in Python (Py5)
Heute möchte ich mein vor zwei Tagen gegebenes Versprechen einlösen und mal wieder etwas mit Py5, dem Python 3-Port von Processing, anstellen. Ich habe dafür den Pythagoras-Baum wieder hervorgekramt und in einem leicht anderen Algorithmus1, aber auch wieder rekursiv, implementiert.
Die Geschichte des Pythagoras-Baumes2 geht auf den niederländischen Ingenieur und späteren Mathematiklehrer Albert E. Bosman (1891–1961) zurück. Er entwarf 1942 während des 2. Weltkrieges in seiner Freizeit an einem Zeichenbrett, an dem er sonst U-Boot-Pläne zeichnete, geometrische Muster. Seine Graphiken wurden 1957 in dem Buch »Het wondere onderzoekingsveld der vlakke meetkunde« veröffentlicht. Der Pythagoras-Baum beruht auf einer rekursiven Abbildung des Pythagoras-Lehrsatzes: Die beiden Quadrate auf den Katheten des rechtwinkligen Dreiecks dienen als Verzweigung, auf dem jedes Kathetenquadrat sich wiederum verzweigt.
Der asymmetrische Pythagoras-Baum
Der asymmetrische Pythagoras-Baum ist die allgemeine Form des Pythagoras-Baumes. Um die Funktion rekursiv aufrufen zu können, mußte ich sie aus der draw()-Funktion auslagern und sie in einen eigenen Aufruf packen:
def draw_pythagoras(a1, a2, b1, b2, level):
if (level > 0):
# Eckpunkte berechnen
n1 = -b2 + a2
n2 = -a1 + b1
c1 = b1 + n1
c2 = b2 + n2
d1 = a1 + n1
d2 = a2 + n2
# Start-Rechteck zeichnen
py5.fill(palette[(level-1)%10])
with py5.begin_closed_shape():
py5.vertex(a1 + xmitte, ymax - a2)
py5.vertex(b1 + xmitte, ymax - b2)
py5.vertex(c1 + xmitte, ymax - c2)
py5.vertex(d1 + xmitte, ymax - d2)
e1 = d1 + w1*(c1 - d1) + w2*n1
e2 = d2 + w1*(c2 - d2) + w2*n2
# Schenkel-Quadrate zeichnen
draw_pythagoras(e1, e2, c1, c2, level-1)
draw_pythagoras(d1, d2, e1, e2, level-1)Zum Zeichnen der einzelnen Quadrate habe ich nicht die rect()-Funktion genutzt, sondern Shapes, mit denen sich Punkte zu einem beliebigen Gebilde oder Polygon zusammenfassen lassen. Hierzu müssen sie erst einmal mit with begin_closed_shape() geklammert werden. Darin werden dann mit vertex(x, y) nacheinander die einzelnen Punkte aufgerufen, die (im einfachsten Fall) durch Linien miteinander verbunden werden sollen. Mit begin_closed_shape teile ich dem Sketch auch mit, daß das entstehende Polygon auf jeden Fall geschlossen werden soll, ein einfaches with begin_shape() würde es im Zweifelsfall offen lassen.
Der Aufruf ist rekursiv: Nachdem zuerst das Grundquadrat gezeichnet wurde, werden die rechten und die linken Schenkelquadrate gezeichnet, die dann wieder als Grundquadrate für den nächsten Rekursionslevel fungieren.
Py5 ist gegenüber Rekursionstiefen relativ robust. Die benutzte Rekursionstiefe von 12 wird klaglos abgearbeitet, auch Rekursionstiefen bis 20 sind kein Problem. Auch eine Rekursionstiefe von 22 oder gar 25 wurde – mit etwas Geduld – absturzfrei berechnet. Der Erkenntnisgewinn ist dabei aber vergleichsweise gering, da die einzelnen »Blätter« nur noch ein undurchschaubarer Pixelhaufen sind.
Die Farben
Für die Farben habe ich eine Palette in einer Liste zusammengestellt, die der Reihe nach die Quadrate einfärbt. Da die Liste nur 10 Elemente enthält, habe ich mit fill(palette[(level-1)%10]) dafür gesorgt, daß nach 10 Leveln die Paletten-Liste wieder von vorne durchlaufen wird.
Der Quellcode
Da die eigentliche Aufgabe des Programms in die Funktion draw_pythagoras() ausgelagert wurde, ist der restlich Quellcode von erfrischender Kürze:
import py5
WIDTH, HEIGHT = 640, 480
palette = [py5.color(189,183,110), py5.color(0,100,0), py5.color(34,139,105),
py5.color(152,251,152), py5.color(85,107,47), py5.color(139,69,19),
py5.color(154,205,50), py5.color(107,142,35), py5.color(139,134,78),
py5.color(139, 115, 85)]
xmax = 600
xmitte = 300
ymax = 440
level = 12
w1 = 0.36 # Winkel 1
w2 = 0.48 # Winkel 2
def setup():
py5.size(WIDTH, HEIGHT)
py5.window_title("Asymmetrischer Pythagorasbaum")
py5.background(234, 218, 184)
py5.stroke_weight(1)
py5.no_loop()
def draw_pythagoras(a1, a2, b1, b2, level):
if (level > 0):
# Eckpunkte berechnen
n1 = -b2 + a2
n2 = -a1 + b1
c1 = b1 + n1
c2 = b2 + n2
d1 = a1 + n1
d2 = a2 + n2
# Start-Rechteck zeichnen
py5.fill(palette[(level-1)%10])
with py5.begin_closed_shape():
py5.vertex(a1 + xmitte, ymax - a2)
py5.vertex(b1 + xmitte, ymax - b2)
py5.vertex(c1 + xmitte, ymax - c2)
py5.vertex(d1 + xmitte, ymax - d2)
e1 = d1 + w1*(c1 - d1) + w2*n1
e2 = d2 + w1*(c2 - d2) + w2*n2
# Schenkel-Quadrate zeichnen
draw_pythagoras(e1, e2, c1, c2, level-1)
draw_pythagoras(d1, d2, e1, e2, level-1)
def draw():
draw_pythagoras(-(xmax/10), 0, xmax/20, 0, level)
print("I did it, Babe!")
py5.run_sketch()Auch wenn es nicht nötig gewesen wäre, ich mag es einfach (und es dient der Übersichtlichkeit), wenn ich meine Py5-Sketche mit def setup() und def draw() gliedere. Mit no_loop() habe ich dann dafür gesorgt, daß die draw()-Schleife auch nur einmal abgearbeitet wird.
Der symmetrische Pythagoras-Baum
Der symmetrische Pythagoras-Baum ist einer der möglichen Spezialfälle. Man erhält ihn zum Beispiel, wenn man die beiden Winkelkonstanten w1 und w2 jeweils beide auf \(0.5\) setzt.
Die Änderungen der drei Werte xmax, xmitte und ymax sind rein kosmetischer Natur. Sie dienen nur dazu, den Baum im Ausgabefenster hübsch zu zentrieren.
Lediglich diese Parameter sind zu ändern, das übrige Programm bleibt unverändert.
Bild: Das Kaninchen und die Python, erstellt mit OpenArt.ai. Prompt: »Colored Franco-Belgian comic style. Illustration of a green python with glasses walks with a rabbit through a futuristic, cubic world. The rabbit wears a dark blue vest and holds a large pocket watch. The python points to a strange tree made of cubes«. Modell: Flux (Pro), Style: None.
Fußnoten
Den rekursiven Algorithmus habe ich einem Pascal-Programm aus Jürgen Plate: Computergrafik: Einführung – Algorithmen – Programmentwicklung, München (Franzis) 2. Auflage 1988, Seiten 460-462 entnommen.↩︎
Nach Dietmar Herrmann, Algorithmen für Chaos und Fraktale, Bonn (Addison-Wesley) 1994, Seiten 170f.↩︎